Что такое творческие кладовые по дискретной математике
портала "Русский след"?

                                                                   Поэзия всей сути чисел
                                                     Сравнима с россыпью светил,
                                                     Прекрасна как алмазный бисер
                                                    Родоначальница мерил. (Ю.Н. Пиллигримов)

---

                     7. Счётные множества, их свойства

   

   Определение. Под множеством А  понимается любое собрание определенных и различимых между собой
объектов, представляемых как единое целое. Эти объекты называются элементами множества А.

Существенной деталью является то, что для любого объекта можно установить, принадлежит он
множеству или нет.

Множество задают (специфицируют) двумя способами:

-перечислением: A={1,2,3};

- характеристикой свойств, общих для элементов множества:

А = {X | P(X)} (А - это множество тех и только тех элементов X для которых P от X истинное предложение).

Примеры :||

А={1,2,3,4,5,6,7,8};

А- есть множество всех Х, таких, что Х-целое и Х>0 и Х<9;

А={X | X - целое, 0<X<9}.  

Если элемент Х принадлежит множеству А, то значит XîA, если не принадлежит, то XïA. Например, 7îА, 6ïА.

 Определение. Множества А и В считаются равными, если они состоят из одинаковых элементов. Обозначение: А=В.

Например,

{1,2,3} = {2,1,3} = {2,1,1,3}

{{1,2}} ¹ {1,2} (Оболочка!)

То есть элемент не считается равным множеству, если даже множество состоит только из этого элемента.

  Таким образом, Под множеством А  понимается  любое собрание определенных и различимых между собой
объектов, представляемых как единое целое. Эти объекты называются элементами множества А.

  Множество задают (специфицируют) двумя способами:

-перечислением: A={1,2,3};

- характеристикой свойств, общих для элементов множества

        2. Мощность множества.

Множества называются  равномощными, эквивалентными, если между ними есть взаимно - однозначное или одно-однозначное соответствие , то есть такое попарное соответствие. когда каждому элементу одного множества сопоставляется один-единственный   элемент другого множества и наоборот, при этом различным элементам одного множества сопоставляются различные элементы другого.

Например, возьмём группу студентов из тридцати человек и выдадим экзаменационные билеты по одному билету каждому студенту из стопки, содержащей тридцать билетов, такое попарное соответствие из 30 студентов и 30 билетов будет одно-однозначным.

Два множества, равномощные с одним и тем же третьим множеством, равномощны. Если множества M  и N равномощны, то и множества всех подмножеств каждого из этих множеств M  и N , также равномощны.

 Под подмножеством данного множества понимается такое множество, каждый элемент которого является элементом данного множества. Так множество легковых автомобилей и множество грузовых автомобилей  будут подмножествами множества автомобилей.

 Мощность множества действительных чисел, называют мощностью континуума и обозначают буквой «алеф»  א .   Наименьшей бесконечной областью является мощность множества натуральных чисел. Мощность множества всех натуральных чисел принято обозначать (алеф-нуль)    .   

Часто мощности называют кардинальными числами.  Это понятие введено немецким математиком Г. Кантором. Если множества обозначают символическими буквами M, N , то кардинальные числа обозначают через  m, n  . Г.Кантор доказал, что множество всех подмножеств данного множества  М  имеет мощность большую, чем само множество М.

Множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называется  счетным множеством

            Счётные множества, их свойства

Множество - равномощное множеству всех натуральных чисел (1, 2,3,....,n-1), например множество целых чисел, множество чётных чисел, множество рациональных чисел; все другие бесконечные множества  являются несчётными бесконечными множествами. Это означает, что все элементы счётного множества можно перенумеровать, то есть обозначить натуральными числами. Говорят, также, что счётное множество имеет мощность , а всякое множество, равномощное с множеством всех подмножеств какого-нибудь счётного множества, имеет мощность или мощность континуума. Бесконечное множество считается счётным, если можно установить одно-однозначное соответствие между его элементами и натуральными числами. Мощность счётного множества, например, множества простых чисел, меньше мощности любого бесконечного несчётного множества. Отношение между счётным множеством и бесконечным несчётным множеством выражается следующими теоремами:

1) мощность бесконечного множества не изменяется от прибавления к нему счётного множества;

2)мощность несчётного множества не изменяется от удаления из него  счётного множества;

3) любое подмножество счётного множества счётно;

4)сумма двух счётных множеств счётна;

5) сумма конечного и счётного множества счётна;

6) если множество А счётно, то множество всех конечных последовательностей его элементов также счётно;

7) множество алгебраических чисел счётно.