Что такое творческие кладовые по дискретной математике
портала "Русский след"?

                                                                   Поэзия всей сути чисел
                                                     Сравнима с россыпью светил,
                                                     Прекрасна как алмазный бисер
                                                    Родоначальница мерил. (Ю.Н. Пиллигримов)

---

               6. Мощность множества

      Этот вопрос следует включает два подвопроса 1)множества, способы их задания и 2) мощность множества

      1)Множества, способы их задания

   Множество – это набор, совокупность, собрание каких-либо объектов, обладающих общими для всех
их характеристическим свойством (например, множество планет, множество простых чисел и так далее).

   Определение. Под множеством А  понимается любое собрание определенных и различимых между
собой объектов, представляемых как единое целое. Эти объекты называются элементами множества А.

Существенной деталью является то, что для любого объекта можно установить, принадлежит он множеству или нет.

  В классической математической логике множество обозначается латинской буквой М  (от немецкого слова Menge, что по-русски значит множество.), а входящие в множество элементы обычно изображают строчными латинскими буквами: a, b, c, d … Использование для обозначения  буквы М для обозначения  множества или применение заглавных букв латинского алфавита для обозначения множества равносильно, если не оговорено специально.

Для того чтобы показать, что речь идёт о множестве, состоящим из элементов, эти элементы заключают в фигурные скобки, например: M={a.b.c…..z}; множество из одного элемента {a}, из трёх элементов {a,b.c}, из бесконечного числа элементов  {a,b,c…}. Причём, следует отметить, что объект а и множество {a}, это не одно и то же: первое – это объект, обозначенный через а, а второе – это множество {a}, состоящее из единственного элемента а. Поэтому можно сказать, что, «а  принадлежит {a}» ,ибо это  - истинное суждение, но суждение «{a} принадлежит а»  будет ложным суждением.

Основным понятием теории  множеств является принадлежность элемента множеству, что обозначается греческой буквой эпсилон  , который в теории множеств трансформировался в символ   î , так называемый э-перевёрнутое.

Символически принадлежность элемента а множеству М изображается так:

а î М,

 Когда надо показать, что а не принадлежит М , то пишут  так ï или вот так , то есть

       а  М    или    а ï М

Когда надо показать принадлежность не элемента, а подмножества М₁ множеству М, то пишут так

М₁   М     или      М   М_1,

А если  оказывается что М₁ не включается в М, то пишут так:

М₁  М  или    М  М₁                                                                     

Для равных, иначе равносильных множеств, пишут  M = N или  М ~ N, где знак тильда ~ означает эквивалентность.  Для неравных множеств M ¹ N 

Пустое множество изображается как

Существенной деталью является то, что для любого объекта можно установить, принадлежит он множеству или нет.

 

Множество задают (специфицируют) двумя способами:

-перечислением: A={1,2,3};

- характеристикой свойств, общих для элементов множества:

А = {X | P(X)} (А - это множество тех и только тех элементов X для которых P от X истинное предложение).

Примеры :||

А={1,2,3,4,5,6,7,8};

А- есть множество всех Х, таких, что Х-целое и Х>0 и Х<9;

А={X | X - целое, 0<X<9}.  

Если элемент Х принадлежит множеству А, то значит XîA, если не принадлежит, то XïA. Например, 7îА, 6ïА.

 Определение. Множества А и В считаются равными, если они состоят из одинаковых элементов. Обозначение: А=В.

Например,

{1,2,3} = {2,1,3} = {2,1,1,3}

{{1,2}} ¹ {1,2} (Оболочка!)

То есть элемент не считается равным множеству, если даже множество состоит только из этого элемента.

  Таким образом, Под множеством А  понимается  любое собрание определенных и различимых между собой объектов, представляемых как единое целое. Эти объекты называются элементами множества А.

  Множество задают (специфицируют) двумя способами:

-перечислением: A={1,2,3};

- характеристикой свойств, общих для элементов множества

        2. Мощность множества.

2. Мощность множества.

Множества называются  равномощными, эквивалентными, если между ними есть взаимно - однозначное или одно-однозначное соответствие , то есть такое попарное соответствие. когда каждому элементу одного множества сопоставляется один-единственный   элемент другого множества и наоборот, при этом различным элементам одного множества сопоставляются различные элементы другого.

Например, возьмём группу студентов из тридцати человек и выдадим экзаменационные билеты по одному билету каждому студенту из стопки, содержащей тридцать билетов, такое попарное соответствие из 30 студентов и 30 билетов будет одно-однозначным.

Два множества, равномощные с одним и тем же третьим множеством, равномощны. Если множества M  и N равномощны, то и множества всех подмножеств каждого из этих множеств M  и N , также равномощны.

 Под подмножеством данного множества понимается такое множество, каждый элемент которого является элементом данного множества. Так множество легковых автомобилей и множество грузовых автомобилей  будут подмножествами множества автомобилей.

 Мощность множества действительных чисел, называют мощностью континуума и обозначают буквой «алеф»  א .   Наименьшей бесконечной областью является мощность множества натуральных чисел. Мощность множества всех натуральных чисел принято обозначать (алеф-нуль)    .   

Часто мощности называют кардинальными числами.  Это понятие введено немецким математиком Г. Кантором. Если множества обозначают символическими буквами M, N , то кардинальные числа обозначают через  m, n  . Г.Кантор доказал, что множество всех подмножеств данного множества  М  имеет мощность большую, чем само множество М.

Множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называется  счетным множеством.

 

Для расчёта мощности подмножеств счётных множеств в ряде случаев используют правило комбинаторики.

Пусть имеется палочка, разделенная на 3 части. Первую ее часть можно раскрасить n способами, вторую – m, третью – k. Всего способов раскраски палочки – n*m*k.

Аналогично с множествами

U = {a₁,a₂… a_n-1, a_n}

Пусть U = {a₁, a₂, a₃}

Выпишем множество всех подмножеств множества U.

 

P(U) = {0, a1, a2, a3, a1a2, a1a3, a2a3, a1a2a3}.

 

Мощность множества U  равна 3, а мощность P(U) равна 8.

 

Методом математической индукции доказывается, что при произвольной мощности n множества U, мощность множества P(U) равна 2ⁿ.