5. Геометрическое представление множеств.

Диаграммы Эйлера — Венна

Диаграммы ВЕННА – геометрические изображения отношений между объёмами понятий посредством
пересекающихся контуров(кругов или эллипсов), предложенная английским логиком. Джоном Венном (1834 - 1923)
в конце позапрошлого века. В своих работах по наглядному графическому изображению логических фигур он
опирался на ряд графических систем, предложенных Эйлером (1707 - 1783), И.Ламбертом (1728 - 1777),
Жергонном (1771 -1859), Б.Больцано (1781 -1848).

Но если графические изображения, принятые Эйлером и Жергонном, выражали преимущественно
аристотелевскую силлогистику (силлогистика – это учение формальной логики о видах и правилах построения
умозаключений ), то диаграммы Венна изображали не только  модусы силлогизма (модус – это свойство предмета присущее ему непостоянно, а  лишь в некоторых состояниях. Модус отличается от атрибута, то есть  свойства предмета, которое данному предмету присуще всегда. Слово модус – это философский термин), но и логические связи, существующие уже в логике классов, разработанной в учениях Дж. Буля (1815 - 1864), Де Моргана и других.

Приведём лишь некоторые из диаграмм Венна. Так, общеутвердительное суждение «Все    А   суть    В »  изображаются диаграммой, где заштрихованная часть обозначает то положение, что не существует таких А , которые не входят в  B»

Частноутвердительное утверждение «Некоторые А суть В» изображаются такой диаграммой:

где  звёздочка означает, что место, заключённое в пересекающихся кругах, не пусто. Суждение же «Некоторые А суть не – В » графически примет уже такой вид:

С помощью диаграмм Венн выражал отношение не только двух терминов, но и значительно большего числа их, что характерно уже для логики классов.

Универсальное множество, т.е. множество состоящее их всех элементов исследуемой области и обозначаемое символом U, на диаграммах Венна изображается множеством точек, находящихся внутри прямоугольника. Если же необходимо выделить в данном универсальном множестве какое-либо подмножество,, то оно изображается в виде круга в окружении точек внутри прямоугольника, как это показано следующей схемой:

С помощью диаграмм Венна можно представить самые разные типы отношений между между множествами, являющимис подмножествами универсального множества. Так, непересекающиеся множества изображаются двумя несоприкасающимися кругами внутри прямоугольника, кА это показано на диаграмме:

Операция объединения (сложения) изображается на диаграмме Венна двумя кругами, из которых один накладывается на другой, как это видно из следующей схемы:

Новое множество, получившееся в результате сложения множеств А  и  B , равно заштрихованному пространству.

Операция пересечения (умножения) множеств также изображается с помощью двух кругов, как это показано на диаграмме:

Разница только в том, что новое множество, получившееся в результате пересечения двух множеств, равно заштрихованному пространству пересекающихся частей этих двух множеств.

С помощью диаграмм Венн изображал довольно сложные логические связи. Приведём только один пример того, как выглядит графическое предложение «A, которое есть B, совпадающее с C , которые есть D », т.е. предложение A B = C D :

Заштрихованные ячейки означают, что классы

 А В`С`D  = A B C`D = A`B C D = A B`C D  =`A B C D=`A`B C D = 0, то есть пусты.

Здесь  А В`С`D  - область 1,  A B C`D  - область 2,   A`B C D - область 3,  A B`C D - область 4,`A B C D  - область 5,` A`B C D - область 6.

 Ио В целом же, данная диаграмма выражает предложение:

А В`С`D  = A B C`D = A`B C D = A B`C D  =`A B C D=`A`B C D = 0, которое говорит о том, нет таких A B, которые не были бы C D и таких C D, которые не были бы A B, а следовательно, таких A B, которые не суть  C D, нет.