2.Операции над множествами

 

В теории множеств рассматривается семь основных операций, это:

1.     Объединение множеств (A È B). Элемент, принадлежащий полученному множеству, принадлежит
множеству А ИЛИ множеству В.

2.     Пересечение множеств (A Ç B). Элемент, принадлежащий полученному множеству, принадлежит
множеству А  и множеству В.

3.     Дополнение множества А^/ (дополнение до множества обозначается штрихом справа) состоит из всех элементов, принадлежащих универсальному множеству, и  не принадлежащих множеству А.

4.     Относительное дополнение, когда составляется дополнение не до универсального множества, а до некоторого множества, скажем, Х. где относительное дополнение множество Х Ç Ā, которое можно обозначить через Х - А  «Х минус А».

5.     Разность множеств, обозначаемая знаком обратного слэджа, то есть \

6.     Симметрическая разность, обозначаемая знаком  Δ ( который читается как дельта или как треугольник)

7.     Включение одного множества в другое,  обозначаемого знаком Ê .

Рассмотрим подробнее.     

 

Объединение множеств, A  плюс  B записывается:  A È B, в логике вместо плюс говорят  A  или  B

 Знак равнозначности  слева и справа  «

Например, когда произведена операция сложения множеств, то о каком - либо элементе, например x множества A можно сказать:

x ΠA È B    «  x ΠA  или  x ΠB     Графически, или по Венну, объединение

множеств рисуют так       

Пересечение множеств символически записывают так A È B   

Говорят, « A крышка  B »  или  « Пересечение A и  B »

Графически,  заштрихованная часть является общей частью.       Множества считаются непересекающимися, если у них нет общих элементов  A Ç B = ø . Изображать можно также, но внутри заштрихованной области ставят  значок   «нуль». А если не пусто, можно записать так:

A Ç B ¹ ø.

         Дополнение множеств, когда для множества  М составляется множество М ^/ (дополнение для множества обозначается штрихом справа) из всех тех и только тех элементов  универсального множества, (то есть полного множества), которые не содержатся во множестве М.

       Существует абсолютное дополнение множества (например, для множества   А) до универсального множества È  множеством  Ā , элементы которого не входят в А. Множество  Ā   является не чем иным как множеством  элементов, {x ׀ xÏ A }.  В этом символическом выражении использован  знак  ׀  , называемый знаком делимости, который означает, что элемент х относится к тем множествам, которые имеют свойство делимости по признаку, Например, в множестве понятия «войны» включают понятия войны справедливые и несправедливые

       Существует относительное дополнение, когда осуществляется дополнение не до универсального множества  U , а до множества, скажем, Х.

В этом случае, относительное дополнение Ā будет Х Ç Ā, которое обозначается и читается как «Х минус А»  « Х – А», которое есть не что иное как сокращение выражения { x Î X ׀ x Ï  A} , то есть множество  тех элементов Х, которые не входят в А.

         Разность множеств – операция,  в результате которой получается множество тех элементов, которые принадлежат одному множеству ( например, А и не принадлежат другому множеству, скажем В , что символически записывается так А \ B = {x  ׀  x ΠA   и   х В}

         Симметрическая разность – операция, в результате которой получается множество тех элементов, которые принадлежат только одному множеству (например, только А) или только другому множеству (например, В), что символически изображается следующим образом:

A  Δ B = {x ׀ ( x ΠA и x ΠB)  или  (x ΠA  и  х  Ï В).

         Включение – эта операция означает, что каждый элемент множества А является  элементом множества  В.  Символически это записывается так:

В  А  Например, одноэтажные дома города включено в множество домов города, а множество зданий города, включает множество домов города.

   Основные теоретико-множественные операции легко запомнить с помощью рисунка, предложенного Л.А.Калужниным.

A Ç B – это область 2

A È B  – это области  1, 2, 3  

А \ B – это область 1

В \  А– это область 3

                                                Δ – это области 1 и 2