Что такое творческие кладовые по дискретной математике
портала "Русский след"?

                                                      Поэзия всей сути чисел
                                                     Сравнима с россыпью светил,
                                                     Прекрасна как алмазный бисер
                                                    Родоначальница мерил.   (Ю.Н. Пиллигримов)



23.Законы поглощения и склеивания


            Если рассматривать приложение исчисления высказываний для анализа и оптимизации
контактно-релейных схем, схем автоматики и других приложений и, зная. что уменьшение
числа элементов и/или связей  приводит к повышению надёжности устройств,
использующих эти схемы, то становится очевидным важность изучения таких формул в
дискретной математике, которые позволяют произвести оптимизацию самой формулы.

        К законам, позволяющим уменьшать элементы и операции логических высказываний, относятся законы поглощения и склеивания.

Закон поглощения.

        Закон математической логики, согласно которому верны следующие равенства:               

 А Ù ( А Ú В) = А

  

А Ú ( А ÙВ) = А
то, что есть  А и ( А или В) есть  А   то, что есть  А или ( А и В) есть  А

            Здесь А  и В обозначают произвольные высказывания, Ú - знак  дизъюнкция (логическое сложение), Ù - знак конъюнкция (логическое умножение) Убедимся в том, что эти равенства верны. Составим таблицы истинности для всевозможных значений высказываний высказываний.

       № столбцов,   строк 1 2 3 4 5 6
А В ( А Ú В) ( А ÙВ) А Ù ( А Ú В) А Ú ( А ÙВ)
1 0 1 1 0 0 0
2 1 0 1 0 1 1
3 1 1 1 1 1 1
4 0 0 0 0 0 0

         Построение всевозможных значений обусловлено всевозможным сочетанием  исходных значений переменных  А и В. Постольку, поскольку истинности значений каждого отдельного высказывания бинарные, то всевозможных сочетаний может быть только 4, которые и установлены в строчках 1-4 первого и второго столбцов. Значения остальных столбцов последовательно вычисляются.

          Сравнивая столбцы 1, 5 ,6 по всем четырём строчкам, убеждаемся, что они тождественны. Следовательно,  верны формулы:

 А Ù ( А Ú В) = А

  

А Ú ( А ÙВ) = А
то, что есть  А и ( А или В) есть  А   то, что есть  А или ( А и В) есть  А

 

Закон склеивания.

        Логическая операция, в процессе которой два члена формулы, имеющие одинаковую часть, заменяются одним членом, как бы склеиваются, носит название закон склеивания.

            Пусть имеется сложное высказывание (А ÙВ) Ú (А Ù )

Анализируя это выражение, видим, что  у двух членов конъюнкции имеется одинаковая часть высказывания А . Тогда это высказывание можно упростить так:

                                    (А ÙВ) Ú (А Ù ) = А Ù (В  Ú   )

№ \ №

   1 2 3 4 5 6 7 8
А В А ÙВ А Ù  (А ÙВ) Ú (А Ù ) В  Ú А Ù (В  Ú   )
1 0 0 0 0 0 0 0 0
2 0 0 1 0 0 0 1 0
3 0 1 0 0 0 0 1 0
4 0 1 1 0 0 0 1 0
5 1 0 0 0 0 0 0 0
6 1 0 1 0 1 1 1 1
7 1 1 0 1 0 1 1 1
8 1 1 1 1 1 1 1 1

                Построение всевозможных значений обусловлено всевозможным сочетанием исходных значений переменных  А , В,  . Постольку, поскольку  истинности значений каждого отдельного высказывания бинарные, то всевозможных сочетаний может быть только 8, которые и установлены в строчках 1-8 первого, второго и третьего столбцов. Значения остальных столбцов последовательно вычисляются.

            Сравнивая истинность значений исходного  сложного высказывания в столбце 6 с истинностями значений преобразованного высказывания, в столбце 8, видим их полное соответствие.

       

счетчик посещений