Множество – это набор, совокупность, собрание каких-либо объектов, обладающих общими для всех их
характеристическим  свойством (например, множество планет, множество простых чисел и так далее).

    Определение.  Под множеством А будем понимать любое собрание определенных и различимых между собой объектов,
представляемых как единое целое. Эти объекты называются элементами множества А.

Существенной деталью является то, что для любого объекта можно установить, принадлежит он множеству или нет.

  В классической математической логике множество обозначается латинской буквой М  (от немецкого слова Menge,
что по-русски значит множество.), а входящие в множество элементы обычно изображают строчными латинскими
буквами: a, b, c, d … Использование для обозначения  буквы М для обозначения  множества или применение заглавных
букв латинского алфавита для обозначения множества равносильно, если не оговорено специально.

 Для того чтобы показать, что речь идёт о множестве, состоящим из элементов, эти элементы заключают в фигурные скобки, например: M={a.b.c…..z}; множество из одного элемента {a}, из трёх элементов {a,b.c}, из бесконечного числа элементов  {a,b,c…}. Причём, следует отметить, что объект а и множество {a}, это не одно и то же: первое – это объект, обозначенный через а, а второе – это множество {a}, состоящее из единственного элемента а. Поэтому можно сказать, что, «а  принадлежит {a}» ,ибо это  - истинное суждение, но суждение «{a} принадлежит а»  будет ложным суждением.

Основным понятием теории  множеств является принадлежность элемента множеству, что обозначается греческой буквой эпсилон  ε, который в теории множеств трансформировался в символ   О , так называемый   э-перевёрнутое.

Символически принадлежность элемента а множеству М изображается так:

а О М,

 Когда надо показать, что а не принадлежит М , то пишут  так П или вот так , то есть

       а  М    или    а П М

Когда надо показать принадлежность не элемента, а подмножества М₁ множеству М, то пишут так

М₁ Н  M или      М К  М_1,

А если  оказывается что М₁ не включается в М, то пишут так:

М₁  М  или    М  М₁                                                                     

Для равных, иначе равносильных множеств, пишут  M = N или  М ~ N, где знак тильда ~ означает эквивалентность.  Для неравных множеств M№ N 

Пустое множество изображается как ш

Существенной деталью является то, что для любого объекта можно установить, принадлежит он множеству или нет.

Множество задают (специфицируют) двумя способами:

-перечислением: A={1,2,3};

- характеристикой свойств, общих для элементов множества:

А = {X | P(X)} (А - это множество тех и только тех элементов X для которых P от X истинное предложение).

Пример :

А={1,2,3,4,5,6,7,8};

А- есть множество всех Х, таких, что Х-целое и Х>0 и Х<9;

А={X | X - целое, 0<X<9}.

Если элемент Х принадлежит множеству А, то значит XОA, если не принадлежит, то XПA. Например, 7ОА, 6ПА.

Определение. Множества А и В считаются равными, если они состоят из одинаковых элементов. Обозначение: А=В.

Например,

{1,2,3} = {2,1,3} = {2,1,1,3}

{{1,2}} № {1,2} (Оболочка!)

          То есть, элемент не считается равным множеству, если даже множество состоит только из этого элемента.

         Таким образом, Под множеством А  понимается  любое собрание определенных и различимых между собой объектов, представляемых как единое целое. Эти объекты называются элементами множества А.

         Множество задают (специфицируют) двумя способами:

-перечислением: A={1,2,3};

- характеристикой свойств, общих для элементов множества

 Однако, как показала практика логики рассуждений, это определение понятия множества в какой-то степени условное. Это ясно проявилось в парадоксе Рассела.

В математической логике есть понятие собственного и несобственного рода. Под множеством собственного рода понимается такое множество, которое составлено из таких элементов (например, множество звёзд), в которое в качестве элемента не может входить само это множество. (Ведь это множество не звезда) Под множеством несобственного рода понимается такое множество, которое само в него входит в качестве одного из элементов, например множество списков.

Рассел привёл парадокс. Рассмотрим множество собственных множеств. Если это множество собственное оно должно быть включено в само множество. Но если оно будет включено, то есть станет  являться элементом множества, то оно становится несобственным и должно быть исключено из этого множества. Но как только оно исключается, оно становится собственным. Получается, что нельзя  однозначно ответить на вопрос принадлежности этого множества к тому или иному роду множества.

    Этот парадокс показывает, что  интуитивная теория множеств – противоречива. Существует более строгая формализация теории множеств,

Которая необходима при глобальном рассмотрении множеств всех множеств, где и встречаются парадоксы. Для практического применения  теории множеств  приведённая формулировка понятия множества приемлема.

    Другой, для примера, парадокс или иными словами,  антимония, приводится в следующем рассуждении:

Антиномия всемогущества

Бог всемогущ, поэтому он может создать такой камень, который сам не сможет поднять.

Но Бог всемогущ, поэтому он может поднять любой камень.

    Для корректности рассуждений,  существует более строгая формализация теории множеств, которая необходима при глобальном рассмотрении множеств всех множеств, где и встречаются парадоксы. Для практического применения  теории множеств  вышеприведённое определение  понятия множества приемлемо.