19. Стрелка Пирса и штрих Шеффера. 1 курс

В исчислении высказываний, кроме явных определений, существуют неявные. К ним относится
стрелка Пирса, А ¯ В .Это сложное высказывание, которое означает "Ни А, ни В". Например, "
новое здание было ни высоким (А), ни низким(В)". Это высказывание истинно только тогда, когда ложны
оба высказывания, входящие в это сложное высказывание.

Таблица истинности сложного высказывания вида А ¯ В
выглядит следующим образом:

А	В	ни А, ни В	А	В	ни А, ни В
и	и	л	1	1	0
и	л	л	1	0	0
л	и	л	0	1	0
л	л	и	0	0	1

Для сравнения приведём таблицу истинности для дизъюнкции А Ú В, в котором союз "или" употреблён в соединительно -разделительном смысле.

Как видно. из сравнения таблиц оператор ¯ представляет собой полную противоположность оператору Ú . На этом сновании можно вывести всегда истинную формулу, которая записывается так: А ¯ В ≡ . Это читается так: "Ни А, ни В равносильно отрицанию дизъюнкции А или В"

Сложное высказывание А ¯ В можно выразить через операцию конъюнкции следующим образом: А ¯ В ≡ Ā Ù

истинность этой формулы легко выводится из следующей таблицы:

В диаграммах Венна логическое отношение А ¯ В изображается следующим образом:

Одно из направлений современной неклассической математической логики, в котором не применяется операция отрицания называется "положительная логика". Одной из таких логических построений является логика, построенная с помощью одного функтора логического знака операции) "/" , который называется "штрих Шеффера".

Например, А / В означает: " А и В несовместны" или "Неверно, что А и В". Ещё пример, высказывания "2 х 2 = 4" и "2 х 2 = 5" несовместны.

Высказывание со штрихом Шеффера истинно тогда и только тогда, когда либо А ложно, либо В ложно , либо А и В ложны одновременно. Оно ложно и в ом случае, если истинны и А и В одновременно. Действительно, если вместо А подставить высказывание

"2 х 2 = 4" и вместо В подставить высказывание "2 х 2 = 4", то А / В дадут ложное высказывание, так как так про идентичные высказывания нельзя сказать, что они несовместны. Таблица истинности со штрихом Шеффера выглядит следующим образом

А	В	А / В	А	В	А / В
л	л	и	0	0	1
и	л	и	1	0	1
л	и	и	0	1	1
и	и	л	1	1	0

Как видно из таблицы, операция со знаком "/" является противоположной операции операции со знаком "Ù". Операция истинностного значения сложного высказывания А Ù В выглядит так:

А	В	А Ù В
0	0	0
1	0	0
0	1	0
1	1	1

На этом основании всегда можно вывести формулу: А/В ≡ , которая читается так: "Несовместность А и В равносильна отрицанию конъюнкции А и В"

Сложное высказывание можно выразить и через дизъюнкцию, которая примет следующий вид: А/В ≡ То есть, "несовместность А и В равносильна дизъюнкции отрицаний". Истинность этой формулы выводится из следующей истинностной таблицы:

А	В	А	В
0	0	1	1	1
1	0	0	1	1
0	1	1	0	1
1	1	0	0	0

С помощью штриха Шиффера можно выразить все другие связки исчисления высказываний, что и сделал сам Шиффер. построив всю теорию исчислений высказываний с помощью только одного знака операции. В этой системе действительны следующие равнозначности:

Ā ≡ А / А "Отрицание А равносильно тому, что А и А несовместны"

А Ù В ≡ " А и В равносильно операции несовместности"

А Ú В ≡ "А или В равносильно тому. что отрицание А и отрицание В несовместны"

А É В ≡ "Если А имплицирует (влечёт) В. то это равносильно тому. что, что А и отрицание В несовместны".

Операция штрих Шеффера коммутативна:

А / В ≡ В /А

Но операция не подчиняется закону ассоциативности:

А / (В / С) ≠ (А / В) / С

В диаграммах Венна штрих Шеффера изображается так:

Здесь прямоугольник универсиум, а круги подмножество этого множества.

С помощью приведённых эквивалентностей Шефферу в 1913 году удалось построить систему пропозиционального исчисления, в которой в качестве одной переменной фигурировал один знак связка "/".