18. Тавтология и противоречие

            Эти понятия в широком смысле слова, являются категориями с точки зрения философского воззрения.
Тавтология - это выражение применяющееся в иной словесной форме. В узком смысле слова, в логических
исследованиях применяют логический закон противоречия и тавтологию  тождественно-истинных формул,
которые при любых возможных истинностных значениях, входящих а них простых компонентов (переменных) истинна,
то есть общезначима независимо от того, какие значения принимают входящие в неё переменные, обозначенные буквами,
а исключительно в силу своего синтаксиса. то есть сочетания  переменных с операциями  и операндами.

            Формальная логика включает четыре основных закона: это закон достаточного основания, согласно которому всякая истинная мысль должна быть  должна быть обоснована другими мыслями, истинность которых доказана, закон исключение третьего, согласно которому из двух противоречащих высказываний в одно и то же время в одном и том же отношении  одно непременно истинно, закон противоречия, согласно которому, не могут быть одновременно истинными две противоположные мысли об одном и том же предмете, взятым в одно и то же время и в одном и том же отношении, закон тождества, согласно которому каждая мысль, которая приводится в данном умозаключении, при повторении должна иметь одно и тоже определённое, устойчивое содержание. Таким образом, Закон противоречия = это один из четырёх основных законов логики.

   В математической логике тавтология, это ь тождественно-истинная формула, которая при любых возможных истинностных значениях, входящих а них простых компонентов (переменных) истинна, то есть общезначима независимо от того, какие значения принимают входящие в неё переменные, обозначенные буквами, а исключительно в силу своего синтаксиса. то есть сочетания  переменных с операциями  и операндами. 

 Примерами тавтологии  являются например такие формулы:

1) А  ®    (закон тождества)

2)   ® А (закон тождества)

3)  А  Ú   Ā  (закон исключения третьего), какое бы значение не придавалось А, одновременно А и не-А вместе ложными быть не могут.

4)    (закон противоречия) какое бы значение не придавалось А,  А и не-А вместе быть истинными не могут: если А истинно, То не-А  -  ложно, а если не-А истинно, то А - ложно.5) А Ú В ® В Ú А что означает, что дизъюнкция обладает законом коммутативности (переместимости).

        Это только некоторые тавтологии, известны очень много других формул-тавтологий. Исследование тавтологий - это одна из важнейших задач математической логики. В действительности из представленных тавтологий можно образовать новые дополнительные тавтологии. Для этого разработаны правила образования новых тавтологий.

    1)Правило подстановки. Из данной тавтологии можно получить новую тавтологию, если высказывание p заменить везде на высказывание  q.

   2) Правило подстановки для эквивалентных по определению высказываний.: из данной тавтологии можно получить новую тавтологию. если в данной тавтологии заменить некоторое высказывание на эквивалентным ему по определению.

    3)Правило отделения или правило импликации: Из двух данных тавтологий m и n ® n, следует новая тавтология n.

    4) Из двух данных тавтологий m и n следует новая тавтология m Ú n.

   Естественно, возникает вопрос, как определить, является ли данная формула тавтологией?

Для этого составляют таблицу истинности для всевозможных комбинаций по исследуемой формуле. Если при составлении таблицы истинности мы ролучили противоречие, т о формула не является тавтологией.

        Противоречие, как уже отмечалось, является одним из четырёх основных законов логики.

Причём, из определения закона видно, что в данном формально логическом законе  имеется в виду не всякое противоречие. а только один из видов противоречия. а именно, противоречие формально-логическое. У логического противоречия нет  точного прототипа в природе и обществе. Поэтому возникающее  противоречие в процессе исследования на тавтологию   рассматриваемых в сравнении формул.

        Как же определить, является ли данная формула тавтологией или нет? Для этого прибегают к помощи  истинностных таблиц.

 - это один из четырёх законов формальной логики

            Джорж Буль - ирландский математик середины 18 века.  Положив в основу своих логических исследований  идею аналогии между логикой и арифметической алгеброй, он разработал логическое исчисление, в котором применяются законы и операции математики . Свою логическую схему он построил на базе  отношения равенства. Все количественные изменения символов им сведены к двум: 1 и 0. Но алгебра логики отличается от обычной алгебры , например тем, что в ней есть закон идемпотентности по которому АА = А, а не A² как в обычной алгебре.

        Логическое исчисление включает это:

       1)формальный аппарат оперирования с логическими знаками  Ú -дизъюнкции, Ù - конъюнкции, ® -импликации, означающий выражение "если...., то....",  ~ -эквивалентности,  "-"   ( *,  ┐, черта над символом или выражением) знак отрицания , "x  - квантора общности и  $х - квантора существования

        2)и чётко сформулированных правил образования формул из букв и логических операторов.

        Из числа правильно построенных формул выбираются некоторая небольшая часть формул, которая называется аксиомами. Вот некоторые из них:

1) А Ú А  ®  А   Если дизъюнкция высказывания  А с самим собой истинна. то и высказывание А истинно.

2) А ® А Ú В   Если дизъюнкция высказывания  А , то  дизъюнкция этого высказывания  А  с любым высказыванием истинно.

3) А Ú В  ®  В  Ú  А   Дизъюнкция высказывания  А или В обладает свойством коммутативности (переместительности).

4) (А ® В) ® (С Ú А)  ®  (С Ú В) Если импликация (А ® В) истинна. то её члены можно связать дизъюнктивно с любым высказыванием С.

   Эта система аксиом предложена Гильбертом, а вообще полнота некоторой системы аксиом для исчисления высказываний,  зависящая от выбора исследователя, означает , что каждая тождественно-истинная формула оказывается в ней  выводимой.

        Из аксиом с помощью правил логического вывода, получают новые формулы, называемые теоремами.

        Во всех  логических исчислениях применяются два правила: 1) правило подстановки и 2)правило вывода заключения.

        Правило подстановки можно сформулировать так: вместо любой буквы (переменной для высказываний) в формуле, можно подставить любую формулу всюду, где эта буква  встречается  встречается в данной формуле.  Например, в формуле А ® ( В Ú А)   можно вместо А подставить ( А Ú В) и получить следующую формулу: ( А Ú В) ®  [( В Ú ( А Ú В))], где А и В произвольные высказывания. Если формула , в которую производится подстановка является истиной, то и получающаяся формула также будет истинной.

        Правило вывода заключения гласит: из двух истинных формул А и А ® В, где  (  - знак импликации, означающий, "если ..., то" или, иначе,  "влечёт") получается новая истинная формула В. Другими словами, если формула  А и  формула А ® В. являются истинными формулами, то В будет также истинной формулой. Это правило по латыни называется modus ponens.

        Базисная система операций алгебры логики Буля включает дизъюнкцию (логическое сложение), конъюнкцию (логическое умножение) и отрицание. Эти три операции определяют Булеву алгебру на непустых множествах.