Поэзия всей сути чисел
                                                     Сравнима с россыпью светил,
                                                     Прекрасна как алмазный бисер
                                                    Родоначальница мерил.   (Ю.Н. Пиллигримов)

            Джорж Буль - ирландский математик середины 18 века.  Положив в основу своих логических
исследований  идею аналогии между логикой и арифметической алгеброй, он разработал логическое
исчисление, в котором применяются законы и операции математики . Свою логическую схему он построил на базе
отношения равенства. Все количественные изменения символов им сведены к двум: 1 и 0. Но алгебра логики отличается
от обычной алгебры , например тем, что в ней есть закон идемпотентности по которому АА = А, а не A² как в обычной
алгебре.

        Логическое исчисление включает это:

       1)формальный аппарат оперирования с логическими знаками  Ú -дизъюнкции, Ù - конъюнкции, ® -импликации, означающий выражение "если...., то....",  ~ -эквивалентности,  "-"   ( *,  ┐, черта над символом или выражением) знак отрицания , "x  - квантора общности и  $х - квантора существования

        2)и чётко сформулированных правил образования формул из букв и логических операторов.

        Из числа правильно построенных формул выбираются некоторая небольшая часть формул, которая называется аксиомами. Вот некоторые из них:

1) А Ú А  ®  А   Если дизъюнкция высказывания  А с самим собой истинна. то и высказывание А истинно.

2) А ® А Ú В   Если дизъюнкция высказывания  А , то  дизъюнкция этого высказывания  А  с любым высказыванием истинно.

3) А Ú В  ®  В  Ú  А   Дизъюнкция высказывания  А или В обладает свойством коммутативности (переместительности).

4) (А ® В) ® (С Ú А)  ®  (С Ú В) Если импликация (А ® В) истинна. то её члены можно связать дизъюнктивно с любым высказыванием С.

   Эта система аксиом предложена Гильбертом, а вообще полнота некоторой системы аксиом для исчисления высказываний,  зависящая от выбора исследователя, означает , что каждая тождественно-истинная формула оказывается в ней  выводимой.

        Из аксиом с помощью правил логического вывода, получают новые формулы, называемые теоремами.

        Во всех  логических исчислениях применяются два правила: 1) правило подстановки и 2)правило вывода заключения.

        Правило подстановки можно сформулировать так: вместо любой буквы (переменной для высказываний) в формуле, можно подставить любую формулу всюду, где эта буква  встречается  встречается в данной формуле.  Например, в формуле А ® ( В Ú А)   можно вместо А подставить ( А Ú В) и получить следующую формулу: ( А Ú В)  ®  [( В Ú ( А Ú В))], где А и В произвольные высказывания. Если формула , в которую производится подстановка является истиной, то и получающаяся формула также будет истинной.

        Правило вывода заключения гласит: из двух истинных формул А и А ® В. где  (  - знак импликации, означающий, "если ..., то" или, иначе,  "влечёт") получается новая истинная формула В. Другими словами, если формула  А и  формула А ® В. являются истинными формулами, то В будет также истинной формулой. Это правилдо по латфни называется modus ponens.

        Базисная система операций алгебры логики Буля включает дизъюнкцию (логическое сложение), конъюнкцию (логическое умножение) и отрицание. Эти три операции определяют Булеву алгебру на непустых множествах.