Что такое творческие
кладовые по дискретной математике
портала "Русский след"?
13. Логические связки в логике высказываний.
В логике высказываний известны два направления: исчисление высказываний и
логика суждений, иначе логика
предикатов. Однако, за некоторым исключением,
логические связки, используемые в этих двух разделах логики -
однотипные.
Разница в этих двух разделах в основном заключается в том. что в
исчислении высказываний важно лишь истинность или
ложность высказывания,
но ни одно из высказываний не может быть одновременно и истинным и ложным. В
логике предикатов
может существовать такие выражения, которые содержат
некоторую переменную, после уточнения которой, предложение
превращается в
высказывание. Например, выражение " в том году был отличный
урожай" не является высказыванием, так как
нельзя однозначно сказать истина
это или ложь пока не будет уточнён год и предмет урожайности. Если указать
конкретный год
и продукт урожайности , например "пшеница", то тогда это
выражение превращается в высказывание истинное или ложное.
Такие выражения
называются пропозициональными переменными.
В логике
высказываний применяется искусственный язык, с помощью которого обозначаются
высказывания, формулируются
законы и правила действий с
высказываниями. Переменные обозначаются прописными латинскими буквами:
A, B, C ...,
A1, B1,
C1…A1,
B1, C1…,
Постоянными, которыми являются логические союзы, в большинстве
систем принято считать следующие знаки: отрицание
− , конъюнкция(умножение)
Ù ;
дизъюнкция (логическое сложение)
Ú ; логический
оператор импликации, означающий союз "если...то..."
® ;
логический оператор эквивалентности ~
. Высказывание , обозначенное какой-нибудь одной буквой латинского алфавита,
называется элементарным (атомарным) высказыванием, которое рассматривается
как неразложимая единица, единственным свойством которого может быть
истинносное значение (истина или ложь) .
Элементарное
высказывание можно отрицать. В этом случае символом
отрицания принята черта, которая ставится над переменной, например
Ā , если над буквой поставлены две
черты
, то
это означает двойное отрицание, что читается " не не-А". Это
закон математической логики, согласно которому отрицание отрицания , даёт
утверждение, что уничтожение двойного отрицания равно утверждению. Этот
закон был давно известен уже Зенону Елейскому, который писал, "что
если из отрицания какого-либо высказывания следует противоречие, то имеет
место двойное отрицание исходного высказывания, то есть оно само"
Из двух или более элементарных (атомарных) высказываний составляются сложные высказывания. В сложном высказывании в котором в котором простые высказывания соединены оператором Ù называется конъюнкцией, а если соединены оператором Ú , то логическим сложением или дизъюнкцией. Сложное высказывание, соединённое логическим оператором ® называется импликацией, символически записывается так А ® В и читается "если А . то В". Аналогично сложное высказывание А ~ В называется эквивалентностью и читается так "А тогда и только тогда, когда В"
Можно образовать и более сложные высказывания, если если применить несколько операторов- связок. Истинность или ложность сложного высказывания, составленного с применением перечисленных связок-операторов зависит только от истинности или ложности составляющих его элементарных высказываний, а не от конкретного содержания самого высказывания . Например, высказывание "если треугольник имеет четыре стороны, то 3+3=6" и высказывание "если треугольник не имеет четыре стороны, то 4+4=8" являются истинными. Появление таких высказываний в обыденной жизни покажутся абсурдными, но если учесть, что в исчислении высказываний все истинные высказывания эквивалентны и равны 1, все ложные высказывания также эквивалентны и равны 0, то вс1 становится на свои места.
На основании установленных эквивалентностей высказывания можно преобразовать по правилам преобразования высказываний. Так операторы Ù Ú подчиняются законам коммутативности, ( когда результат операции, производимой над высказываниями не зависит от перестановки высказываний местами), ассоциативности ( когда результат не зависит от последовательности производимых операций), дистрибутивности, ( когда для получения результата множитель высказывания можно внести в скобки, а не сначала проводить операцию в скобках), справедливы законы двойственности де Моргана. Когда в сложном высказывании имеется сразу несколько связок-операторов , то сначала выполняется Ù затем Ú . а после ®. Например, А Ù В Ú А Ù С ® А, читается так: "На дизъюнкции высказываний (А Ù В) и (А Ù С) следует высказывание А.
Важной задачей математической логики является отыскание критериев, позволяющих устанавливать, является ли сложное высказывание тождественно истинным(всегда истинным) или нет. Примерами всегда истинных высказываний, могут быть следующие:
A
®
,
® A,
A Ú Ā,
A ® (Ā ® B),
(A Ù
) ®
.