Что такое творческие
кладовые по дискретной математике
портала "Русский след"?
10.Бинарные отношения, способы их задания.
Отношение - это одна из форм всеобщей взаимосвязи всех предметов, явлений,
процессов в природе,
обществе и мышлении. Спектр отношений на
множествах многоаспектен, начиная с определения понятия множества,
аксиоматики и заканчивая разбором парадоксов. Различных отношений на
множестве бесконечно. Но, когда говорят об
бинарных отношениях, то
подразумевают отношения между двумя величинами, объектами,
высказываниями.
Если хRу
® уRх,
то такое отношение называется симметричным, где
® - знак
импликации, сходный с союзом
"! если..., то..."
Если (xRy Ùy R z) ® xRz, то такое отношение называется транзитивным, где Ù - знак конъюнкции.
Бинарное отношение, которое одновременно рефлексивно, симметрично и транзитивно называется отношением эквивалентности.
Бинарное отношение f называют функцией, если из <х, у> Î f и <х, z > Î f следует y = z. Бинарная функция применима к двум аргументам, взятым в определённом порядке, и только в этом случае она даёт значение функции для этих двух аргументов, взятых в данном порядке.
Бинарные функции называются тождественными , если они имеют одну и ту же область определения и если для каждой упорядоченной пары аргументов. лежащих в этой области, они имеют одно и тоже значение.
Бинарная функция называется симметричной, если она совпадает со своей конверсией, то есть когда меняются местами предыдущий и последующий члены высказывания..
Принято говорить, что f отображает Х на У если f есть функция, с областью определения Х и областью значений У.
Когда же f отображает Х на У и У Í Z то говорят. что f отображает Х в Z. Например, если f(x) = 2x для любого целого х , то можно сказать что f отображает множество всех целых чисел в множество всех целых чётных чисел.
Как отмечалось выше,
ббинарное отношение, которое одновременно рефлексивно, симметрично и транзитивно называется отношением эквивалентности.Таким образом, отношение эквивалентности бинарных отношений характеризуется следующими свойствами:
1) рефлексивностью: (M ~ N);
2)симметричностью: если M ~ N, то N ~ M;
3) транзитивностью: если M ~ N и N ~ P то M ~ P.
Рассмотрим эти свойства подробнее.
Рефлексивность - это одно из свойств некоторых отношений, когда каждый элемент множества находится в данном отношении к самому себе. Например отношения между числами а = с и а ³ с рефлексивны, так как всегда а = а, с = с, а ³ а, с ³ с. Но отношение неравенства а > с антирефлексивно, так как неравенство а > а невозможно.
Аксиома рефлексивности записывается так: aRc ® aRa Ù cRc , здесь ® означает слово "влечёт" ("имплицирует"), а знак Ù - союз "и" (конъюнкция).
Из этой аксиомы следует: если суждение aRc истинно. то истинны и суждения aRa и cRc.
Симметричное отношение - это такое отношение между объектами, когда наличие этого отношения влечёт за собой наличие этого отношения и в том случае, если объекты поменять местами; иначе говоря при симметричном отношении перестановка объектов не ведёт к изменению вида отношения. Например, отношение равенства а = с симметрично, так как оно эквивалентно (равносильно) отношению с = а , симметрично и отношение а ¹ с , так как оно эквивалентно отношению с ¹ а.
Транзитивное множество - это такое множество, например множдество х, если выполняется следующее требование: у Î х, z Î y ® z Î x где ® это знак, представляющий слова: " если ..., то ..." Читается формула так: Если у принадлежит х, z принадлежит у, то z принадлежит х".